Новости науки 10.08.01. Число пи содержит всё - причем поровну!

Классический научно-фантастический роман Карла Сагана Контакт заканчивается тем, что его героиня находит послание внеземного разума, запрятанное внутри знаков числа p. Двое математиков - Дэвид Бэйли (Lawrence Berkeley NL, Калифорния) и Ричард Крандалл (Reed College, Орегон) - сделали важный шаг в строгом доказательстве того, что p содержит не какое-то одно сообщение, а вообще любое (в том числе и любое осмысленное)¹.

Долгие годы p создавало хаос в математических кругах

Эти математики показали, что десятичное разложение p содержит любую целочисленную строку. Они также пришли к предварительному выводу, что все строки одинаковой длины встречаются внутри p с одинаковой частотой: 87435 появляется так же часто как 30752, а 451 как 862 и т.п., - это свойство называют нормальностью.

Пи - это отношение длины окружности к ее диаметру. В конце 18 века Ламберт и Лежандр установили, что p - иррациональное число, а в 19 веке Линдеман доказал, что оно трансцендентное.

Является ли разложение p случайным или упорядоченным - это одна из труднейших проблем математики. Бэйли и Крандалл показали, что нормальность p будет строго установлена, если удастся доказать теорему из совсем другой области - теории хаоса.

"Мы не доказали нормальности p, но мы нашли путь к этому," - говорит Бэйли. Пройти эту дорогу до конца может быть и трудно, но он надеется доказать по крайней мере упрощенную гипотезу о хаосе в течение нескольких лет.

Среди математиков идет соревнование за вычисление наибольшего числа десятичных знаков p. Последний рекорд, достигнутый на суперкомпьютерах - это 500 млрд. знаков.

Новая работа появилась благодаря удивительной формуле, открытой Бэйли с соавторами в 1996 г. Эта формула позволяет вычислять любую цифру p, не зная предыдущих цифр!

Десятичное разложение p начинается со всем знакомых цифр цифр ("это я знаю и помню прекрасно - пи многие знаки мне лишни, напрасны...") 3.1415926535897929.... Рассмотрим последовательность 0.314, 0.141, 0.415, 0.159, 0.926, 0.265, 0.653, 0.535, 0.358, 0.589, 0.897, 0.979, 0.792, 0.929..., полученную из последовательных троек цифр p. Если эти числа хаотически (равновероятно) заполняют интервал между нулем и единицей, то с помощью формулы 1996 г. можно строго доказать, что p нормально - это и есть мостик между теорией чисел и теорией беспорядка, построенный Бэйли и Крандаллом (вместо десятичного, они пользовались двоичным разложением p).

Если p и в самом деле нормально, то поиск сообщения внутри него будет похож на поиск смысла в книгах Вавилонской библиотеки, созданной воображением писателя-ультраиста Хорхе Луиса Борхеса. Книги там содержат все произвольные комбинации букв и знаков препинания.

Конечно, найти космическое послание внутри p тогда будет невозможно. Однако случайность цифр p можно использовать для шифровки других сообщений. Надо превратить послание в последовательность нулей и единиц (например, в любой компьютерной кодировке букв), затем взять строку с какого-то места в двоичном разложении p и зашифровать сообщение, прибавив цифры p к цифрам сообщения по модулю 2. Только тот, кто знает, с какого места в разложении p начинается строка-ключ, сможет прочесть сообщение (нуль - там, где цифра из p не изменилась и единица в противном случае). Благодаря формуле Бэйли и др. 1996 г. ключевой номер может стоять в "триллион триллионной" или более далекой позиции в p, так что перебором его найти практически нельзя. А без знания этого номера внутри p ничего расшифровать не удастся - ведь любая "испорченная" строка тоже наверняка есть в разложении p в каком-то другом месте. Лучше сказать: в бесконечном числе других мест!

перейти к началу страницы