Пьер Ферма

Мы очень мало знаем о жизни этого великого математика. Известно, что он родился в 1601 г. на юге Франции, был выходцем из "третьего сословия", изучал юридические науки и состоял советником тулузского парламента (суда). Математике он мог посвящать только свободное от работы время. Но сила его гения была столь велика, что, несмотря на это, его идеи наложили глубокий отпечаток на все дальнейшее развитие теории чисел, геометрии и математического анализа.

Тогда еще не было ни академии наук, ни научных журналов и отдельные любители науки, разбросанные по стране, либо непосредственно писали друг другу, либо посылали письма в Париж к какому-нибудь любителю, который переписывал их и пересылал другим ученым. Так, свои захватывающие мысли и идеи Ферма излагал в письмах к друзьям, среди которых были Р. Декарт, Ж. Роберваль, Б. Паскаль, Ж. Дезарг и другие. И все они считали Ферма величайшим математиком Европы.

Очень немногие сочинения Ферма были изданы им при жизни, и то по настоятельному требованию друзей. Первое собрание сочинений великого ученого появилось только после его смерти. Умер Ферма в 1665 г. Ферма установил основной принцип геометрической оптики, согласно которому свет распространяется из одной точки в другую по такому пути, для прохождения которого требуется минимальное время. Из этого принципа Ферма выводятся законы отражения и преломления света.

С наибольшей силой гений Ферма проявился в математике. Так, еще до Декарта и в более совершенной форме он построил систему аналитической геометрии, открыл общий метод для определения максимумов, минимумов и касательных, существенно развил метод Архимеда и применил его для определения площадей, объемов и длин дуг. Но любимой его областью, которую он по существу открыл, была теория чисел. Ферма сумел среди множества разнообразных задач и вопросов выделить именно те, которые стали центральными в теории чисел XVIII и XIX вв. Однако он, как правило, не сообщал доказательств своих теорем. Поэтому утверждения Ферма так и остались для последующих ученых проблемами, часть из которых и до сих пор не получила решения.

Остановимся на четырех проблемах Ферма.

1. Занимаясь теорией чисел, Ферма обратил внимание на то, что во всех вопросах арифметики чрезвычайно важную роль играют простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,.... Он попытался найти такую формулу, которая при подстановке вместо п целых чисел 1, 2, 3, 4,... давала бы только простые числа. Ферма полагал, что именно таким будет выражение 2²ⁿ + 1. Но через 100 лет Л.Эйлер заметил, что хотя при п = 0, 1, 2, 3, 4 формула и будет давать простые числа 3, 5, 17, 257, 65837, однако при n=5 получается число 4 294 967 297, которое делится на 641. Числа вида 2²⁷+1 носят теперь название чисел Ферма. Они встречаются во многих исследованиях по теории чисел. Но до сих пор неизвестно, имеется ли среди этих чисел бесконечно много простых или нет.

2. В поисках критерия для определения того, является ли данное число простым, Ферма нашел cле-

дующую замечательную теорему: если п - простое число и а - целое число, которое не делится на п, то а^n-1 -1 нацело делится на п. Так, например, 5⁶-1 без остатка делится на 7, а 7⁴ -1 делится на 5. Но 2⁵ - 1 не будет делиться на 6, следовательно, число 6 не простое. Эта теорема получила название малой теоремы Ферма. Она была впервые доказана Л. Эйлером, и теперь известно много ее различных доказательств. Она играет фундаментальную роль при исследовании проблем теории чисел и теории групп.

3. Еще большую известность, чем "малая", получила "большая", или "великая", теорема Ферма, в которой утверждается, что уравнение х^п + уⁿ = zⁿ (1) не имеет целых решений, если только n>2 и хуz не равно 0 Случай n=2 был рассмотрен еще в древности; тогда же было доказано, что решений у такого уравнения будет бесконечно много. На полях "Арифметики" александрийского математика Диофанта, где излагалась эта задача, Ферма записал свою "великую теорему". Он добавил, что нашел для нее "поистине чудесное доказательство", однако не может его записать из-за недостатка места. С тех пор прошло около 400 лет, но общее доказательство "великой теоремы" до сих пор не найдено.

Интересна ее судьба. С одной стороны, математики, стараясь доказать теорему, развивали все более и более тонкие методы, открывали новые обширные области для исследований. В настоящее время теорема доказана для всех n =< 10 000.

С другой стороны, эта теорема получила большую известность среди неспециалистов. Их привлекала простота формулировки, а также загадочное замечание Ферма о найденном им "чудесном" доказательстве. Сотни людей тратили и до сих пор тратят свое время и силы, пытаясь доказать "великую теорему" элементарными средствами, ничего не зная об истории этой теоремы и о ее взаимосвязях с современными математическими теориями. Быть может, ни одна из теорем математики не принесла людям так много горьких разочарований и обманутых надежд. Теперь уже ясно, что людям, не знакомым с современной высшей математикой, не следует приниматься за доказательство этой георемы.

4. "Великая теорема" представляет собой одну из задач так называемого диофантова анализа. Уравнение с двумя или более неизвестными, как, например, nⁿ +yⁿ = zⁿ, называется неопределенным. Одна из главных задач диофантова анализа - узнать, имеет ли заданное неопределенное уравнение с целыми коэффициентами целые или рациональные решения; если решения имеются, то конечно или бесконечно

их число; в последнем случае постараться определить их все (например, так, как это было сделано в древности для уравнения (1) при п = 2). Сам Ферма исследовал неопределенное уравнение x² - ау² = +-1. (2) В "Началах" Евклида говорится, как найти бесконечное множество решений уравнения х²-2у = ±1, исходя из наименьшего: x₀ = 1, у₀ = 1. Следующее решение будет: x₁=x₀ + 2y₀ = 3; y₁=x₀ + y₀ = 2. И вообще, если х_п, y_п - решение, то из него можно получить следующее решение по формулам:

Х_{п +1} = Х_п + 2y_п, У_{п +1} = x_п + y_п

Ферма исследовал уравнение (2) при любом целом неквадратном а. В одном из своих писем он поставил перед математиками следующие задачи: 1) дать способ нахождения наименьшего решения этого уравнения; 2) найти формулы для нахождения всех остальных решений, если наименьшее уже известно. Сам Ферма, безусловно, владел методом решения обеих задач. Чтобы узнать, имеется ли метод у других математиков, он нарочно выбрал такие значения а, для которых наименьшее решение очень велико, и поэтому его трудно найти простым подбором.

Исчерпывающее решение обеих задач было получено только Л. Эйлером и Ж. Лагранжем в XVIII в. Мы остановились здесь только на нескольких проблемах, которыми занимался великий математик. Но и их достаточно, чтобы оценить силу его гения.

перейти к началу страницы