Игра в нормальной форме. Матрица игры

Мы будем рассматривать только конечные игры, т. е. такие, в которых каждый участник располагает конечным числом стратегий. Если у игрока К имеется в распоряжении m стратегий, а у игрока С - п стратегий, игра называется игрой т х п. Правила игры можно записать в виде следующей таблицы (или матрицы), в которой m строк и п столбцов:

Игра "Осада и оборона города"

"Красные" стремятся занять город, "синие" обороняют его. У "красных" -два отряда, каждый из которых они могут направить по любой из двух дорог - I и II, ведущих к городу. У "синих" три отряда, которые могут разместиться произвольным образом на любой из двух дорог. Никто из противников не осведомлен об образе действий другого. Условия таковы: если на дороге встречаются равные силы "красных" и "синих", то в 50% случаев "красные" побеждают и занимают город, в 50% -отступают. Если "красные" встречаются с превосходящими силами "синих" (один отряд - с двумя или два - с тремя), они отступают. Определить, как должны распорядиться своими отрядами "красные" и "синие", чтобы обеспечить себе наилучшие возможные результаты игры. Решение. У "красных" три стратегии: K₁ -послать оба отряда по дороге I, К₂- послать оба отряда по дороге II, К₃ - послать на каждую дорогу по одному отряду.

У "синих" - четыре стратегии: С₁ - поставить все три отряда на дорогу I, С₂ - поставить все три отряда на дорогу II, С₃ - поставить два отряда на дорогу I, а один - на дорогу II, С₄ - поставить два отряда на дорогу II, а один - на дорогу I. Выигрышем будем считать процент случаев, когда "красным" удается занять город. Матрица игры будет иметь вид (а = 50 %, Р = 100%; об а и бета см. стр. 434):

	С₁	С₂	C₃	C₄	Минимумы строк
К₁	0%	100%	50%	100%	0%
K₂	100%	0%	100%	50%	0%
K₃	100%	100%	50%	50%	50%
Максимумы столбцов	100%	100%	100%	100%

Ищем решение в смешанных стратегиях. Сразу же замечаем, что стратегии К₁и K₂ симметричны и, значит, должны входить в решение с одинаковыми частотами : P₁=P₂

Объединим эти две стратегии в одну К₁₂, которая состоит в применении К₁и К₂ с одинаковыми частотами. Выигрыш будет средним арифметическим соответствующих строк. Матрица примет вид:

Строки соответствуют стратегиям "красных", которые мы обозначим: К₁, K₂>, ... K_m, а столбцы - стратегиям "синих": C₁, С₂, ... С_пВ клетках таблицы помещены выигрыши (или средние выигрыши) "красных" при соответствующей паре стратегий. Например, k₁₂ - выигрыш, который получат "красные", если выберут стратегию К₁, а "синие"-С₂; вообще, k_ij -выигрыш "красных" при комбинации стратегий Kⁱ и С_j.. Такая таблица называется платежной матрицей или просто матрицей игры. Если конечная игра записана в виде такой матрицы, то говорят, что она приведена к нормальной форме.

Но попробуйте, например, записать в нормальной форме обыкновенные шахматы! Вы сразу столкнетесь с тем, что количество возможных стратегий необозримо велико - настолько велико, что их перечисление выходит за пределы возможностей не только человека, но и современной вычислительной машины.

А жаль! Потому что, если бы построение матрицы шахматной игры было возможно, это имело бы очень любопытные последствия... Но не будем забегать вперед.

перейти к началу страницы