Закон больших чисел

Мы ограничимся здесь формулировкой двух теорем, получивших многочисленные теоретические и практические применения. Первая из них была доказана Я. Бернулли и опубликована в 1713 г.

Производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью р. Пусть среди первых п испытаний событие А наступило в некоторых т. Тогда, как бы мало ни было взято

Таким образом, если взять п достаточно большим, то вероятность неравенства

становится как угодно малой. А так как события с малой вероятностью имеют мало шансов наступить, то мы видим, что при больших п, как правило, отношение - будет близко к р.

Теорема Я. Бернулли служит базой для приближенной оценки неизвестных вероятностей случайных событий. Длительные наблюдения над рождениями установили, что в среднем на каждую 1000 рождений приходится 511 мальчиков и 489 девочек. Отсюда делается вывод, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,511. По вероятности рождения мальчика делаются серьезные прогнозы о составе населения.

Все страховое дело построено на определении статистическим путем (посредством теоремы Бернулли) вероятностей различных событий: смерти лица определенной профессии в течение определенного года его жизни, гибели от пожара дома, гибели посевов от града и т. д. На этой базе рассчитываются страховые взносы. Эти расчеты оказываются настолько точными, что страховые общества не разоряются, а приносят систематический доход.

Вторая теорема доказана П. Л. Чебышевым в 1867 г. Его доказательство просто и изящно, оно вполне доступно учащимся IX класса. Мы ограничиваемся формулировкой лишь частного случая теоремы.

Предположим, что случайная величина Е может принимать значения Х₁, X₂>, ... X_п

соответственно с вероятностями

Средним значением (математическим ожиданием) случайной величины E называется сумма

Представим теперь себе, что имеется последовательность независимых случайных величин E₁, E₂, ... E_k, ..., каждая из которых имеет среднее значение, равное а, и все случайные величины ограничены некоторым числом с. При этих условиях для любого. e>0 имеет место неравенство:

Таким образом, среднее арифметическое независимых случайных величин при большом числе слагаемых становится почти постоянным. Это обстоятельство исключительно важно, оно находит ши-рркое и разнообразное использование на практике.

Пусть, для примера, E_k есть результат k-гo измерения некоторой величины а, лишенного систематической ошибки (например, постоянной ошибки измерительного прибора). Закон больших чисел утверждает, что для получения приближенного значения измеряемой величины следует взять среднее арифметическое из результатов измерений, и чем измерений больше, тем среднее арифметическое будет ближе к измеряемой величине.

В качестве другого примера рассмотрим давление газа на стенку заключающего его сосуда. Это давление есть результат суммарного воздействия ударов отдельных молекул о стенку. Число этих ударов в единицу времени и их сила - дело случая. Таким образом, давление в каждой части поверхности сосуда подвергается случайным колебаниям. Но так как давление складывается из колоссального числа ударов отдельных частиц, то среднее арифметическое отдельных производимых ими давлений, согласно закону больших чисел, практически достоверно является почти постоянной величиной. Отсюда вытекает, что давление газа в нормальных условиях (для не слишком разреженных газов) лишь ничтожно мало колеблется около некоторой постоянной величины. Но это утверждение мы знаем из физики под названием закона Паскаля. Таким образом, мы закон Паскаля получили не как опытный факт, а как результат теории, как следствие из общей теоремы теории вероятностей, из теоремы Чебышева.

Заметим, что теорема, Чебышева содержит в себе теорему Бернулли как простейший частный случай, когда все случайные величины могут принимать лишь два значения - 0 и 1, соответственно с вероятностями 1 - р и р.

перейти к началу страницы