Теоремы сложения и умножения вероятностей

Прежде всего рассмотрим две важные формулы, которые лежат в основе действий с вероятностями. Эти формулы носят название теорем сложения и умножения вероятностей.

Пусть два события А я В таковы, что при каждом испытании может появиться только одно из них или же ни одного, а вместе появиться они не могут. Такие события называются несовместными. Теорема сложения утверждает, что если А я В несовместны, то P {A или В} =Р{А}+Р{В}.

Представим теперь себе, что события А я В таковы, что наступление одного из них не изменяет вероятности наступления другого. Такие события называются независимыми. Для независимых событий имеет место теорема умножения, состоящая в следующем: Р{А и В} = Р{А}*Р{В}.

Рассмотрим для иллюстрации следующую задачу, с которой в настоящее время приходится часто встречаться при организации производства. Ремонтный рабочий обслуживает 6 механизмов, каждый из которых независимо от других может выйти из нормального рабочего режима и потребовать к себе внимания. Вероятность выхода каждого из механизмов за период длительности Т равна р. Чему равна вероятность того, что за период длительности Т из рабочего режима выйдет не более двух механизмов?

Вероятность того, что данный механизм за весь период работы не выйдет из нормального рабочего состояния, равна 1-р. По теореме умножения вероятность того, что все шесть механизмов проработают благополучно, равна (1- р)⁶. Вероятность того, что определенный механизм выйдет из нормального состояния работы, а остальные пять будут работать хорошо, равна по теореме умножения р(1 - р)⁵. Механизмом, потребовавшим внимания, может оказаться любой из шести, поэтому вероятность того, что из строя выйдет только один механизм (безразлично какой), равна по теореме сложения 6р(1-р)⁵.

Вычислим еще вероятность того, что какие-то два механизма выйдут из рабочего состояния, а остальные четыре будут работать нормально. С этой целью заметим, что по теореме умножения вероятность выхода из строя двух определенных механизмов и нормальной работы остальных четырех равна р²(1 - р)⁴. Но два механизма из шести можно выбрать С₆² = 15 различными способами. Для каждого из них вероятность уже вычислена. В результате по теореме сложения искомая вероятность равна 15р2(1-р)4.

Так как интересующее нас событие (выход из нормального рабочего состояния не более чем двух механизмов) может осуществиться следующими несовместимыми способами: все механизмы будут работать безотказно, откажет лишь один механизм, откажут в точности два механизма, то его вероятность по теореме сложения равна:

Если, для примера, вероятность выхода механизма из нормального рабочего состояния равна 0,2, то вероятность того, что за указанный срок: все механизмы будут работать нормально, равна 0,262144; только один механизм выйдет из строя, равна 0,393216; только два механизма выйдут из строя, равна 0,245760. Таким образом, при указанных условиях работы искомая вероятность равна 0,90112.

перейти к началу страницы