Заключение

Мы рассмотрели различные вопросы, изучаемые в алгебре. Все эти вопросы объединяются одним общим направлением - изучением общих свойств действий и преобразований. Алгебра и дает аппарат изучения этих свойств. Законы действий (т. е. аксиомы, которым они подчиняются) могут быть совершенно различными, в зависимости от поставленной задачи. В соответствии с этим получаются группы, кольца, поля и т. п.

В современной алгебре рассматриваются и другие объекты, подчиненные совсем иным аксиомам (алгебры Ли, альтернативные алгебры, полугруппы и т. д.). Не следует думать, однако, что работа алгебраиста заключается в выписывании новых, произвольно взятых аксиом и выяснении их следствий. Как правило, интересные алгебраические объекты получаются не таким путем. Интересные объекты возникают при рассмотрении глубоких задач геометрии, физики, математического анализа, логики и самой алгебры. При изучении этих задач исследователь, отбрасывая второстепенное и несущественное, выделяет важное и основное и формулирует общие свойства различных объектов в виде аксиом. Таким образом, и в алгебре аксиомы имеют опытное происхождение (хотя это и не всегда может быть непосредственно замечено).

перейти к началу страницы