Абстрактная теория групп

Рассмотрим следующие две группы преобразований. Первой из них является группа симметрии ромба, второй - группа перемен знаков переменных х я у. Обозначим тождественное преобразование ромба через е, симметрии относительно диагоналей - через а и b и центральную симметрию - через с. Проверьте, что "таблица умножения" в этой группе имеет следующий вид:

	е	а	b	с
е	е	а	b	с
а	а	е	с	b
b	b	с	е	а
с	с	b	а	е

Теперь обратимся к группе перемен знаков у переменных к и у. Здесь мы также обозначим тождественное ] реобразование х -> x, у -> у через е. Изменение знака у одного только х (т. е. преобразование х -> -х, у -> у) обозначим через а, а изменение знака у одного только у - через b. Наконец, преобразование х -> -x, у -> - у (изменение знаков у обоих переменных) обозначим через с. Легко проверяется тогда, что в рассматриваемой группе преобразований "таблица умножения" имеет вид:

	е	а	b	с
е	е	а	b	с
а	а	е	с	b
b	b	с	е	а
с	с	b	а	е

Сразу бросается в глаза, что написанные "таблицы умножения" совершенно одинаковы. Итак, различные группы преобразований могут оказаться совершенно одинаково устроенными, т. е. иметь одинаковое число элементов и одинаковую "таблицу умножения". Для решения многих вопросов, относящихся к группам преобразований, совершенно неважно знать, что именно преобразуется, а существенно лишь, сколько имеется различных преобразований в группе и как они перемножаются.

Евграф Степанович Федоров.

Изучением групп с этой точки зрения занимается так называемая абстрактная теория групп. В этой теории рассматривают множества G, состоящие из каких угодно элементов (не обязательно преобразований), для которых определено каким-то образом умножение, обладающее следующими свойствами:

1. Произведение а b двух элементов из G принадлежит G.
2. Существует элемент е (единичный), обладающий тем свойством, что для всех элементов а из G выполняется равенство ае = еа = а.
3. Для любого элемента а есть обратный ему элемент а^-, т. е. такой, что аа^-1=а^-1 а=е.
4. Для любых трех элементов а, b, с выполнено равенство a(bc) = (ab)c.

Заметим, что последнее равенство, выражающее ассоциативность умножения, всегда выполняется для преобразований. Множество G с указанными свойствами называется группой. Первая в России книга по теории групп вышла в 1916 г. и принадлежит перу О. Ю. Шмидта.

Отто Юльевич Шмидт.

Значение абстрактной теории групп состоит в том, что теоремы и понятия этой теории могут применяться и к группам геометрических преобразований, и к группам алгебраических преобразований, и к изучению атомов и кристаллов и т. п.

перейти к началу страницы