Разные геометрии

До того времени, пока математики не поняли, что равенство геометрических фигур можно определять при помощи различных групп геометрических преобразований, казалось, что существует только одна геометрия, а именно та, которую изучают в школе. Первый удар этому мнению нанес Н. И. Лобачевский, который построил новую геометрию, совсем не похожую на обычную (см. ст. "О различных геометриях"). Истинную причину различия геометрии Лобачевского и геометрии Евклида впервые глубоко осветил немецкий математик Ф. Клейн. Он показал, что все дело в различии групп преобразований, используемых в этих геометриях для определения равенства фигур: в геометрии Евклида для этого используется группа обычных движений, а в геометрии Лобачевского совершенно другая группа преобразований (их называют гиперболическими движениями плоскости).

Вообще, каждая группа преобразований плоскости определяет свое понятие равенства, а значит, и свою геометрию. В геометрии, соответствующей некоторой группе преобразований, изучаются лишь свойства, одинаковые у всех фигур, равных относительно этой группы. Иными словами, изучаются те геометрические свойства фигур, которые сохраняются при всех преобразованиях рассматриваемой группы. Эту точку зрения на геометрию впервые четко сформулировал Ф. Клейн в 1872 г. на лекции в г. Эрлангене. С тех пор такой подход к пониманию геометрии получил название эрлангенской программы.

Теоремы школьной геометрии тоже фактически относятся к различным геометриям. Одни из них касаются свойств фигур, не меняющихся при движениях, а другие - более глубоких свойств, не меняющихся при любых линейных преобразованиях (см. об этом в ст. "Геометрические преобразования").

перейти к началу страницы