Группы геометрических преобразований

Не всякое множество G геометрических преобразований пригодно для определения равенства фигур. Ведь может случиться, что в множестве G отсутствует преобразование, оставляющее какую-то фигуру F неизменной, и окажется, что она не равна самой себе. Конечно, такое определение равенства никуда не годилось бы. Поэтому потребуем, чтобы среди преобразований множества G было тождественное преобразование е, т. е. такое, при котором все фигуры остаются неизменными. Тогда любая фигура будет равна самой себе относительно этого множества. Но существования тождественного преобразования еще мало. Может случиться, что в множестве G есть преобразование, переводящее фигуру F₁ в фигуру F₂, есть и преобразование, переводящее фигуру F₂ в фигуру F₃, но нет преобразования, переводящего F₁ прямо в F₃. Получим: F₁=F₂, F₂=F₃, но F₁ не равно F₃. Чтобы этого избежать, введем следующее условие: вместе с любыми двумя преобразованиями а и бета в множество G входит и их произведение а*бета.

Наконец, надо, чтобы из равенства F₁ = F₂ вытекало равенство F₂ = F₁. Иными словами, надо, чтобы вместе с преобразованием, переводящим фигуру F₁ в фигуру F₂, множество G содержало и преобразование, переводящее F₂ в F₁ Для этого достаточно, чтобы вместе с преобразованием а множество G содержало и обратное ему преобразование а^-1.

Подведем итоги. Для того чтобы равенство геометрических фигур, определенное с помощью множества преобразований G, обладало "хорошими" свойствами, нужно следующее: 1) множество G должно содержать тождественное преобразование; 2) вместе с двумя преобразованиями а и р в G должно входить их произведение а*бета; 3) вместе с каждым преобразованием а множество G должно содержать обратное к нему преобразование а^-1. Множество преобразований, для которого выполнены эти три условия, называют группой геометрических преобразований.

Таким образом, для того чтобы с помощью множества G геометрических преобразований можно было определить понятие равенства геометрических фигур, надо, чтобы это множество было группой.

перейти к началу страницы