Умножение геометрических преобразований

О том, что такое геометрические преобразования и как они применяются для решения задач, было подробно рассказано в статье "Геометрические преобразования". На первый взгляд может показаться, что эта область математики относится целиком к геометрии, а алгебраистам там делать нечего. Но это не так; оказывается, геометрические преобразования можно умножать, а ведь алгебра изучает свойства самых различных действий, в том числе и умножения преобразований.

Как же умножить геометрическое преобразование а на геометрическое преобразование р? А очень просто - сначала сделать преобразование а, а потом р. В результате получится новое преобразование. Его называют произведением преобразований а и бета и обозначают а*бета. Пусть, например, a - поворот плоскости вокруг точки О на 30°, а бета - поворот вокруг той же точки на 45°. Сделав эти повороты один за другим, получим поворот плоскости вокруг точки О на 75° (рис. 2). Этот поворот и является произведением поворотов а и бета.

Умножение преобразований похоже по своим свойствам на умножение чисел. Например, для умножения преобразований верен ассоциативный закон:

Есть и преобразование, играющее роль единицы, т. е. такое, что для любого преобразования а верна формула a * е=е • a=a. Им является тождественное преобразование е, оставляющее все точки на месте. Ясно, что если сначала сделать преобразование е, т. е. оставить все неизменным, а потом преобразование а, то это все равно что сделать только преобразование а. Поэтому е • a = а. Точно так же доказывается, что a * e = a.

- А нужно ли доказывать последнее равенство? - спросит читатель. - Ведь уже доказано, что е * a = а, а от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Вспомните, однако, что при умножении кватернионов переставлять сомножители нельзя. Оказывается, их нельзя переставлять и при умножении преобразований. Вот простой пример.

Пусть a - сдвиг вдоль оси Ох на 6 единиц, а р -поворот на 90° вокруг точки О. При преобразовании а начало координат перейдет в точку А (6; 0). При преобразовании р (т. е. при повороте на 90°) точка А перейдет в точку В (0; 6). Таким образом, преобразование a * бета переводит точку О в точку В (рис. 3).

Произведем теперь те же преобразования в обратном порядке. При повороте а точка О останется на месте. При сдвиге же бета точка О перейдет в точку А. Значит, бета * а переводит О в точку А, а не в точку бета. Мы видим, что

Итак, умножение преобразований не обладает свойством коммутативности. Выполнение равенства а * бета = бета * а является для преобразований не правилом, а исключением. Одно из таких исключений дается формулой: ае = еа.

Преобразования можно не только умножать, но и делить друг на друга. Для чисел деление сводится к умножению на обратное число, например:

И для преобразований деление сводится к умножению на обратное преобразование. Это преобразование определяют следующим образом.

Пусть преобразование а переводит точку Р в точку Q. Тогда обратное ему преобразование а^-1 переводит Q обратно в точку Р. Например, если a -сдвиг вправо на отрезок а, то а^-1 - сдвиг влево на тот же отрезок а.

Ясно, что если сначала сделать преобразование а, то в результате все точки вернутся на свои места и получится тождественное преобразование. Поэтому а * а^-1==е.

Теперь ясно, как можно делить преобразования. Только, в отличие от чисел, для преобразований есть два вида деления - слева и справа.

перейти к началу страницы