2i.SU
Математика

Математика

Содержание раздела

Разложение на множители и решение уравнений.

Разложение многочленов на множители

Разложение целых чисел на множители напоминает другой раздел элементарной математики - разложение многочленов на множители. Этот раздел очень нравился нашему знакомому Васе Игнатьеву. Он умел разлагать на множители не только такие простые многочлены, как х2 - 4 = (х - 2)(х + 2), но также способом группировки мог разложить:

2990-9.jpg

Эти примеры он брал из различных задачников. Однако, когда он попытался сам придумать пример и начал разлагать на множители многочлен х2 + 6х + 4, у него ничего не вышло. Потом он сообразил, что даже многочлен х2 - 2 не разлагается на множители. Он забросил листок, на котором решал пример, и нашел его только через год, когда перешел в следующий класс. "Над чем же я думал! - воскликнул он, - ведь

2990-10.jpg

Вася думал, что, научившись решать квадратные уравнения, он сможет разлагать на множители любой квадратный трехчлен. Но радость его была преждевременной; когда он взялся за многочлен х2 + 6х + 10, то даже применение иррациональных чисел ему не помогло. При решении квадратного уравнения x2 + 6x + 10 = 0 появились квадратные корни из отрицательных чисел, а про такие корни он еще ничего не знал.

Лишь на одном из занятий математического кружка Вася научился разлагать и такие многочлены -учитель рассказал о комплексных числах, после чего Вася смог решать все квадратные уравнения, а тем самым и разлагать на множители все квадратные трехчлены:

2990-11.jpg

Почему же в разных классах Вася по-разному подходил к задаче о разложении многочлена, почему все больше расширялся класс многочленов, которые он мог разлагать на множители? Ларчик открывается просто - задача о разложении на множители не очень точно поставлена. Надо еще указать, какими могут быть эти множители, какими числами должны быть их коэффициенты. Таким образом, недостаточно сказать: "Разложите многочлен f(x) = a0x'n + а1хп-1+...+аnна множители". Надо еще сказать, какому полю должны принадлежать коэффициенты этих множителей.

Если все коэффициенты многочлена f(x) принадлежат числовому полю Р, то говорят, что f(x) является многочленом над полем Р. Например, x2 + 6x + 10 является многочленом над полем рациональных чисел, х2+ 2x; + Пи - над полем действительных чисел, а многочлен x2 + ix + 3 - i - над полем комплексных чисел.

Разумеется, если поле Р является частью поля Р1 (или, как говорят математики, его подполем), то любой многочлен над полем Р может рассматриваться и как многочлен над полем Р1Ведь его коэффициенты принадлежат полю Р, а значит, и полю Р1. Такой подход бывает удобен при разложении многочленов на множители. Например, можно говорить о разложении многочлена x2 + 6x + 10 над полем комплексных чисел.

Разложение многочленов на множители похоже по своим свойствам на разложение целых чисел. Только вместо простых чисел надо брать так называемые неприводимые многочлены - те, которые нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени (над заданным полем). Делителями единицы являются только многочлены нулевой степени, т. е. отличные от нуля числа. Как и для целых чисел, здесь каждый многочлен единственным образом разлагается в произведение неприводимых множителей. Разумеется, такие два разложения, как

2990-12.jpg

отличающиеся лишь делителями единицы, считаются одинаковыми.

перейти к началу страницы


2i.SU ©® 2015 Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ruРейтинг@Mail.ru