Поля

Мы уже говорили, что понятие кольца, удовлетворяющего всем аксиомам (1), оказалось в некоторых вопросах математики слишком узким. Однако для других математических вопросов оно оказалось слишком широким, ведь в определении кольца ни слова не сказано о возможности деления. Да и не во всех кольцах можно делить. Возьмем, например, кольцо всех целых чисел. Если разделить 3 на 5, то целого числа не получится. А без деления нельзя решать даже уравнений первой степени!

Чтобы изучать уравнения, пришлось ограничиться кольцами, в которых есть операция деления. Такие кольца математики назвали полями. Как в настоящем поле можно идти в любую сторону, не встречая никаких препятствий, так в математическом поле можно беспрепятственно выполнять все арифметические действия (кроме деления на нуль!).

Читатель еще в V классе познакомился с одним полем - полем всех рациональных чисел (положительных и отрицательных). Позже он познакомился с более широким полем - всех действительных чисел (рациональных и иррациональных). Наконец, все комплексные числа тоже образуют поле.

Кроме этих трех полей (рациональных, действительных, комплексных чисел) есть еще много других полей, состоящих из чисел. Возьмем, например, все числа вида

где а и b - рациональные числа. В это множество чисел входит, например,

но не входит

Оказывается, это множество чисел образует поле. Точно так же числа

где а и b рациональны, образуют поле. А вот числа вида

где а, b, с рациональны, не образуют поля, потому что

Чтобы получить поле, надо расширить это множество чисел, а именно рассматривать числа вида

где а, b, с, d рациональны. Поля можно строить не только из чисел. Например, множество всех алгебраических дробей образует поле.

перейти к началу страницы