Два способа задания множества. Множества и высказывания

Поставим теперь вопрос о том, каким образом можно задать то или иное множество. Проще всего это сделать, перечислив все элементы, в совокупности составляющие данное множество: так, можно сказать, что фигурирующее выше множество А состоит из школьников Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи. Однако в тех случаях, когда множество содержит много элементов, этот явный, или перечислительный, способ задания множества может оказаться очень неудобным. Кроме того, при таком задании множества обычно оказывается замаскированным самый принцип его образования, то общее, что служит причиной объединения отобранных элементов в одно множество.

Второй способ задания множества состоит в том, что мы указываем признак, характеризующий все элементы множества, и только эти элементы. Так, выше мы говорили: "множество отличников" или "множество учащихся, сидящих в классе в первом ряду". Такой способ задания множества называется неявным или описательным. Этот способ заключается в том, что мы формируем некоторое высказывание, касающееся элементов рассматриваемого универсального множества I ("быть отличником" или "сидеть в первом ряду"); далее отбираем те, и только те, элементы множества I, которые этому высказыванию удовлетворяют.

Описательный способ задания множества связывает учение о множествах с учением о высказываниях, составляющим предмет математической логикu. Высказыванием мы называем всякое утверждение, которое может оказаться истинным или ложным; при этом предполагается, что в принципе существует возможность установить, истинно данное высказывание или ложно, хотя мы, быть может, этой возможности не имеем. С этой точки зрения утверждение "Ровно через 100 лет в этот день в Москве будет ясная погода" является высказыванием, поскольку через 100 лет можно будет проверить, правда это или нет. Напротив, утверждение "Неделя - это большой промежуток времени" высказыванием не является в силу неопределенности выражения "большой промежуток времени", которое у разных лиц и в различных случаях может иметь разный смысл; ведь здесь, не обладая несколькими дополнительными сведениями, никак нельзя сказать, является это утверждение истинным или нет.

Рассмотрим теперь высказывания, относящиеся к элементам определенного универсального множества I; в случае, когда этим множеством является множество учащихся данного класса, это могут быть высказывания: "Он отличник", "Он сидит в первом ряду", "Он выше 1 м 50 см", "Он старше 50 лет", "Он - это девочка", "Он левша", "Он имеет две головы" и т. д. Каждому такому высказыванию отвечает некоторое множество элементов из I, для которых это высказывание является истинным; это множество называется множеством истинности данного высказывания. Множество истинности может оказаться пустым; в этом случае высказывание называется тождественно ложным или противоречивым. Так, для множества учеников данного класса тождественно ложными будут высказывания "Он имеет две головы" или "Ему больше 50 лет"; выше у нас фигурировало еще одно высказывание, также заведомо противоречивое в применении к ученикам какого-либо класса: "Он слон". В определенном смысле противоположный случай - это тот, когда множество истинности данного высказывания совпадает со всем универсальным множеством I; в этом случае высказывание называется тождественно истинным или бессодержательным. Тождественно истинными являются, например, высказывания: "Он (ученик определенного класса) моложе 50 лет", "Он мальчик или девочка".

перейти к началу страницы