Удивительная алгебра

До сих пор все рассматриваемые законы действий над множествами совпадали с законами действий над числами. Однако на самом деле алгебра множеств, вовсе не копирует в точности алгебру чисел; она обладает и многими удивительными свойствами, не имеющими места в обычной алгебре. Мы начнем со второго дистрибутивного закона, получаемого из первого дистрибутивного закона (А + В)С = АС + ВС заменой сложения умножением и наоборот: АВ + С=(А + С)(В + С).

Как уже указывалось, в алгебре чисел этот "второй дистрибутивный закон", вообще говоря, места не имеет. По-другому обстоит дело с алгеброй множеств. На рис. 16а желтым цветом закрашено множество А В, а синим цветом отмечено объединение АВ и С -множество АВ + С. На рис. 16б желтым

Рис. 16а.

Рис. 16б.

и красным цветом выделены множества А + С и В + С, а синим цветом - их пересечение, т. е. множество (А + С)(В + С). Но легко видеть, что множество, отмеченное синим цветом на рис. 16б, - это в точности то множество, которое выделено тем же цветом на рис. 16а. Таким образом, для любых трех множеств, А, В и С: АВ + С = (А + С) (В + С).

Далее, мы выше отмечали курьезное равенство: а + 1 = 1, получаемое из равенства а * 0=0 заменой нуля единицей и умножения сложением. Но курьезным это равенство является лишь в алгебре чисел. В алгебре множеств для любого множества А: А + I = I.

В самом деле, сумма A + I представляет собой множество, получаемое объединением универсального множества I и множества А. Но уже множество I содержит все имеющиеся в нашем распоряжении элементы, так что прибавление к нему множества А ничего изменить не может: сумма A + I - это то же самое универсальное множество I!

Отметим еще необычные равенства: А + А = А и АА = А, также выполняющиеся для каждого множества А. В самом деле, сумма А+А представляет собой объединение множества А с самим собой. Но при этом мы придем к тому же самому множеству А (рис. 17). Аналогично, произведение А А есть пересечение множества А с самим собой; но это пересечение не отличается от множества А (см. рис. 17). Последние два равенства можно еще обобщить. Различные множества можно сравнивать друг с другом. Естественно считать, что множество А "больше" множества В, если все элементы множества В содержатся в множестве А.

Рис. 17.

Так, множество С девочек, сидящих в первом ряду (это множество состоит из школьниц Зои, Кати и Наташи), содержится в множестве В учеников, сидящих в первом ряду (рис. 18). Графически соотношение изображается тем, что фигура С целиком заключается в фигуре В (рис. 19) или С совпадает с В.

Рис. 18.

Рис. 19

Соотношение А ] В, строго говоря, переносит в алгебру множеств не соотношение а>b алгебры чисел, а со-ношение а>Ь ("число а больше b или равно b"). Ясно, что если A ] B и B ] С, то A ] С (рис. 20); это утверждение аналогично известному свойству неравенств: если а>b и b>с, то а>с.

Рис. 20

Нетрудно видеть, что если A ] B, то А + В = А; АВ = В (рис. 21,а, б). Так как всегда можно считать, что А ] А, то отсюда вытекают и два выписанных ранее равенства: A + A = A и AA = A.

Рис. 21 а

Рис. 21 б

Мы видим, что правила алгебры множеств во многом отличны от правил алгебры чисел. Поэтому, для того чтобы овладеть этой удивительной алгеброй, приходится не только "доучиваться", но частично и "переучиваться"- отказываться от некоторых привычных представлений, связанных с опытом действий с числами.

Укажем теперь еще одно отличие алгебры множеств от алгебры чисел, которое читатель, возможно, и не отметил. Имея дело с числами, мы можем сравнить между собой любые два числа а и b; всегда одно из них больше другого (или эти числа равны). Для двух множеств А и В, однако, как правило, не будет иметь место ни одно из двух соотношений A ] B и В ] A. Так, в случае указанных выше множества А отличников и множества В учащихся, сидящих в первом ряду, ни одно из этих множеств нельзя считать большим. Только если одно из двух множеств целиком содержится внутри другого, мы можем указать большее из них; для других же множеств А и В, графически изображенных на рис. 22а и 22 б, никакое сравнение их невозможно. Таким образом, лишь для некоторых пар множеств А я В можно указать, какое из этих множеств является большим.

Рис. 22 а

Рис. 22 б

Алгебра множеств с ее своеобразными законами действий, одновременно и напоминающими правила действий над числами, и отличными от этих правил, была впервые указана замечательным английским математиком прошлого века Дж. Булем, отцом известной писательницы Этель Лилиан Войнич (автора романа "Овод"). По имени Буля алгебру множеств часто называют булевой алгеброй. Основополагающее сочинение Буля, в котором впервые строилась булева алгебра, называлось "Исследование законов мысли"; оно было напечатано в Лондоне в 1854 г., т. е. более ста лет назад. Название книги Буля сначала может показаться удивительным - какое отношение имеет курьезная алгебра множеств к законам нашего мышления? На этот вопрос мы постараемся ответить ниже.

Джордж Буль.

Поскольку законы действий над множествами отличаются от законов действий над числами, иногда считают, что эти действия нельзя обозначить теми же символами, которые используются в алгебре чисел. В математической литературе сумма множеств А к В часто обозначается через A u В, а произведение этих же множеств - через A n В. При этом правила действий булевой алгебры множеств записываются в следующем виде:

(коммутативные законы);

(ассоциативные законы);

(дистрибутивные законы);

Мы, однако, предпочтем во всех случаях пользоваться знакомыми символами сложения и умножения.

перейти к началу страницы