2i.SU
Математика

Математика

Содержание раздела

Множества и операции. Понятие множества.

Множество всех действительных чисел несчетно

И тем не менее несчетные множества существуют. Оказывается, множество всех действительных чисел несчетно. Этот замечательный факт, как и теорема о счетности множества всех рациональных чисел, впервые в 1874 г. был доказан знаменитым немецким математиком Г. Кантором, основателем теории множеств. Воспроизводим доказательство Кантора. Доказываем, что несчетным является уже множество всех действительных чисел интервала (0; 1).

2810-5.jpg
Георг Кантор.

Под интервалом (а; 6) числовой прямой понимается множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству а<x<b. Каждое такое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби с целой частью нуль. При этом каждому действительному числу соответствует лишь одна такая запись, за исключением действительных чисел, выражаемых конечными десятичными дробями: каждое такое число, например 0,2476622021711, может быть записано двумя способами в виде бесконечной десятичной дроби:

2810-2.jpg

Одна из этих записей начиная с некоторого момента содержит одни лишь нули, а другая - одни девятки. Если мы согласимся не употреблять записей, в которых начиная с какого-нибудь места идут одни девятки, то каждое действительное число будет иметь лишь единственную запись в виде бесконечной десятичной дроби. Докажем теперь теорему о несчетности множества действительных чисел от противного: предположим, что множество действительных чисел (мы говорим все время о числах X интервала (0; 1) счетно, т. е. может быть занумеровано посредством натуральных чисел. Тогда вся совокупность действительных чисел интервала (0; 1) может быть записана в виде последовательности: х1, x2, ... Запишем разложение числа Хп в бесконечную десятичную дробь:

2810-3.jpg

суть, последовательные десятичные знаки числа хnпричем, согласно заключенному нами условию, не может случиться, что все десятичные знаки начиная с некоторого суть девятки. Итак, все действительные числа х (интервала (0; 1) предполагаются записанными в виде:

2810-4.jpg

Приведем наше предположение к противоречию, найдя действительное число с, заключенное между 0 и 1 и заведомо не входящее в табл. (1). Для этого рассмотрим цифры, стоящие по диагонали в табл. (1), а именно

2810-6.jpg

и выберем для каждого п натуральное число bn, не превосходящее число 8 и отличное от числа а(n) (например, при

2810-7.jpg

полагаем

2810-8.jpg

а при а(n)=8 полагаем bn=7). Рассмотрим бесконечную десятичную дробь

2810-9.jpg

Она не содержит ни одной девятки и выражает число с, заключенное между 0 и 1, заведомо отличное от всех чисел х1, х2, х3, ..., хп, ... В самом деле, если бы было:

2810-10.jpg

то на n-м месте в разложении числа с мы должны были бы иметь цифру а(n) тогда как в действительности имеем

2810-11.jpg

Теорема доказана.

перейти к началу страницы


2i.SU ©® 2015 Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ruРейтинг@Mail.ru