Множество всех рациональных чисел счетно

В поисках несчетного множества обратимся к множеству всех рациональных чисел (читатель, конечно, помнит, что рациональными числами называются все целые и все дробные числа). Посмотрим, можно ли занумеровать все рациональные числа с помощью натуральных. Для простоты рассмотрим сначала все положительные рациональные числа и попробуем их как-нибудь занумеровать. Сразу же сталкиваемся с трудностью: среди положительных рациональных чисел заведомо нет наименьшего числа, каким является единица среди натуральных чисел; ведь, каково бы ни было положительное рациональное число r, число ¹/₂r также является положительным рациональным числом, и оно меньше, чем r. Предположим, мы обойдем эту трудность, начав счет с какого-нибудь рационального числа r₁, которое согласимся считать первым. Но тогда на следующем этапе возникает такая трудность: какое рациональное число считать вторым, т. е. непосредственно следующим в порядке нашего счета за числом r₁ Дело в том, что, какое бы рациональное число r₂>r₁ мы ни взяли, имеются рациональные числа большие, чем r₁, и меньшие, чем r₂, и таких бесконечное множество, например числа:

Таким образом, среди всех рациональных чисел, больших чем выбранное нами число r₁, нет наименьшего. Какое же объявить первым из следующих за r₁? Но возникшая трудность кажущаяся. Она показывает только, что невозможно занумеровать рациональные числа с помощью натуральных чисел таким образом, чтобы при этой нумерации возрастающим номерам соответствовали возрастающие числа. Придется попытаться занумеровать рациональные числа как-нибудь иначе, не стремясь к тому, чтобы число r₁, первое после r₁ в порядке нашего счета, было и первым по величине, т. е. наименьшим из всех следующих за r₁. А тогда нужная нам нумерация находится очень легко.

В самом деле, каждое положительное рациональное число однозначно записывается в виде несократимой дроби p/q (целое число n будем при этом записывать в виде дроби n/1 и также считать ее несократимой). Назовем высотой дроби - натуральное число q + p. Под высотой рационального числа будем понимать высоту той единственной несократимой дроби, которая является записью данного числа.

Посмотрим, сколько приходится рациональных чисел на каждую данную высоту. Высоту 1 не имеет ни одно положительное рациональное число (потому что, записывая рациональное число в виде несократимой дроби - , видим, что ее высота равна натуральному числу p + q, а так как р>=1, q>=1 то p + q>=2). Высоту 2 имеет, очевидно, единственное рациональное число 1/1=1.

Высоту 3 имеют дроби 1/2и 2/1 т. е. рациональные числа 1/2 и 2. Высоту 4 имеют дроби 1/3,2/2, 3/1. Среди них оставляем лишь несократимые 1/3 и 3/1 . Итак, высоту 4 имеют рациональные числа 1/3 и 3. Высоту 5 имеют дроби 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, среди которых нет сократимых, так что на высоту 5 приходится 4 числа. Высоту 6 имеют дроби 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, среди которых несократимы лишь первая и последняя; следовательно, высоту 6 имеют числа 1/5 и 5.

Продолжая рассуждать таким образом дальше, мы прежде всего убеждаемся в том, что, каково бы ни было натуральное число h>1, есть лишь конечное число рациональных чисел с этой высотой. В самом деле, дроби с высотой h - это, очевидно,

Их конечное число: h -1. Среди этих дробей некоторые могут оказаться сократимыми, а остальные дадут рациональные числа с высотой h.

Теперь уже очень легко занумеровать все положительные рациональные числа: мы начинаем с наименьшей высоты 2 и идем дальше, все время увеличивая на единицу высоту и сосчитывая то (всегда конечное) число рациональных чисел, которое приходится на данную высоту. Таким образом, число 1=r получает номер 1. Далее идут два числа: r₂=1/2 и r₃ = 2 высоты 3, потом два числа: r₄=1/3 и r₅ = 3 высоты 4, потом четыре числа: r₆ = 1/4, r₇ =2/3, r₈ =2/3, r₉ = 4 высоты 5, два числа: r₁₀ =1/5, r₁₁ = 5 высоты 6 и т. д. Получаем таблицу (через n_h обозначено число рациональных чисел высоты h):

Высота	Числа данной высоты
2	r₁ (n₂=1)
3	r₂, r₃ (n₃ = 2)
4	r₄, r₅ (n₄ = 2)
5	r₆, r₇ r₈, r₉ (n₅=4)

Так как каждое рациональное число имеет своей высотой некоторое натуральное число h, оно найдет свое место в строке, соответствующей этой высоте, и получит определенный номер, не больший чем число n₂ + n₃ + ... + n_h-1 + h_h

Итак, множество всех положительных рациональных чисел есть счетное множество.

перейти к началу страницы