Формула Ньютона-Лейбница

Между дифференцированием и интегрированием (вычислением интегралов) имеется глубокая связь: формула (3) показывает, что путь находится по мгновенной скорости с помощью интегрирования, а формула (9) утверждает, что скорость находится по пути с помощью дифференцирования. Это наводит на мысль, что действия дифференцирования и интегрирования связаны друг с другом примерно так же, как действия сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня, т. е. что эти операции взаимно обратны.

Например, пользуясь тем, что v(t) = s'(t), можно записать формулу (3) в виде:

Здесь 5 - путь, пройденный телом начиная с момента t = 0.

Но может случиться и так, что пройденный путь отсчитывается не с момента t = 0, а с какого-то более раннего момента (например, не с момента начала путешествия, а с момента выпуска автомобиля с завода). Тогда путь s придется записать в виде разности s(T) - s(0) пути, пройденного к моменту t = T, и пути, пройденного к моменту t = 0. Равенство (3) примет такой вид:

Таким же образом для любых двух моментов времени t = a и t = b справедливо равенство:

Вообще, для любой функции F(x) имеет место равенство:

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница, в честь знаменитых математиков И. Ньютона и Г. Лейбница, почти одновременно установивших ее в конце XVII в. (примерно через 70 лет после выхода в свет книги И. Кеплера "Новая стереометрия винных бочек"). Следует сказать, что в геометрической форме эту формулу высказал учитель Ньютона И. Барроу в 1670 г. Он указал, что вычисление площадей-действие, обратное проведению касательных. Значение формулы Ньютона - Лейбница состоит в следующем: если, мы знаем какую-нибудь функцию F(x), производная которой равна f(x), т. е.

F'(x) = f(x), то легко вычислить интеграл

он равен разности значений функции F(x) в точках b и а. Каждую функцию F(x), для которой F'(x) = f(x), называют первообразной для функции f(x). Значит, если функция F(x) первообразная для функции f(x), то f(x) - производная для функции F(x).

Таким образом, вычисление интегралов сводится в основном к нахождению первообразных. А нахождение первообразных есть задача, обратная дифференцированию. Поэтому чем большее число функций мы будем уметь дифференцировать, тем больше первообразных будем знать и тем больше интегралов сможем найти. Пока что мы умеем дифференцировать только многочлены. Этого уже достаточно, чтобы интегрировать любые многочлены (не прибегая к примененным выше геометрическим приемам).

Но во многих задачах встречаются функции, отличные от многочленов. Мы научимся сейчас дифференцировать тригонометрические и показательную функции.

перейти к началу страницы