Производные многочленов

Из сказанного выше ясно, что для решения ряда задач физики, геометрии и других наук весьма важно уметь находить производные различных функций (нахождение производных называется дифференцированием). Мы рассмотрим сейчас пример непосредственного вычисления производной.

Возьмем функцию у = х³. Отношение, которое нужно рассмотреть при вычислении этой производной, имеет такой вид:

Если теперь x₂ будет приближаться к х\, то последнее выражение будет, очевидно, приближаться к значению x₁² + x₁² + X₁² = 3x₁². Таким образом, производная от функции у = x³ имеет в точке х = x₁ значение Зх₁², т. е. (х³)' | при _х-x1, = 3x₁². Более кратко это записывают так:

Предоставляем читателю таким же образом найти производные от функций у = х² и у = х. Результаты получаются такие:

Эти формулы вычисления производных объединяются, очевидно, одной общей формулой:

В математике доказывается, что формула (12) верна при любом п.

Заметим теперь, что производная обладает следующими простыми, но важными свойствами: постоянный множитель можно выносить за знак производной; кроме того, производная суммы двух (или нескольких) функций равна сумме производных от слагаемых:

Теперь уже легко можно находить производные любых многочленов, например:

Вообще, если

многочлен n-й степени, то его производная вычисляется по формуле:

перейти к началу страницы