Производная

Мы рассмотрели несколько задач из физики и геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. В первых двух задачах (скорость движения, скорость распада) это общее заключалось в том, что мы в обоих случаях имели скорость изменения некоторой величины: скорость движения есть скорость изменения пути с течением времени, скорость распада есть скорость изменения массы радиоактивного вещества. Но и в третьем примере мы имели некоторую скорость изменения: тангенс угла наклона касательной есть скорость изменения ординаты, когда мы перемещаемся по оси х.

Действительно, отношение y₂-y₁/x₂-x₁ представляет собой среднюю скорость возрастания ординаты при перемещении от точки х₁ к точке х₂, а предельное значение этого отношения (равное tg a) дает мгновенную скорость изменения ординаты.

Итак, во всех рассмотренных задачах мы имели мгновенную скорость изменения некоторой величины; этим и объясняется, что при определении этих на первый взгляд очень непохожих величин получались очень похожие формулы. Чисто математически скорость изменения можно определить следующим образом. Пусть мы имеем функцию y = f(x). Обозначим те значения, которые эта функция принимает в двух точках х₁ и х₂, через у₁ и у₂. Тогда разность y₂-y₁ показывает, на сколько изменилось значение рассматриваемой функции при переходе от значения х₁ к значению х₂, а отношение

представляет собой среднюю скорость изменения функции y = f(x) на промежутке от х₁ до х₂. Если теперь уменьшать этот промежуток, приближая значение х₂ к х₁, то мы получим в пределе мгновенную скорость изменения рассматриваемой функции в точке х₁; она равна:

где предел берется при условии, что значение х₂ приближается к х₁. Эта мгновенная скорость изменения называется производной от функции y = f(x) по аргументу х в точке х₁; она обозначается через f'(x₁).

В этих обозначениях явно указывается, в какой точке берется мгновенная скорость изменения (т. е. производная). Есть и другие обозначения для производной, но мы их не будем указывать. Конечно, производную можно находить в различных точках, так что производная f'(x) есть опять некоторая функция от х. Теперь ясно, что рассмотренные выше задачи из физики и геометрии могут быть сформулированы с помощью производной.

Скорость движения v(t) есть производная от пути s(t) по времени:

Скорость u(t) радиоактивного распада есть производная от массы радиоактивного вещества m(t) по времени:

Наконец, тангенс угла наклона касательной к графику функции у = f(x), проведенной в точке с абсциссой х, есть производная от функции f(х):

перейти к началу страницы