Жесткость балки

Балками в технике называют деревянные или металлические брусья, на которых лежат перекрытия зданий. Балки должны выдерживать вес перекрытий и предметов, находящихся в здании. Под этой тяжестью они изгибаются. Если балки изогнутся слишком сильно, перекрытие может рухнуть. Поэтому до постройки здания надо рассчитать, выдержат ли балки нагрузку. Этими расчетами занимается специальная наука - сопротивление материалов.

Прогиб балки зависит от очень многих причин. Под одной и той же нагрузкой деревянная балка изогнется сильнее, чем стальная, длинная - сильнее, чем короткая, тонкая - сильнее, чем толстая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной Е, называемой модулем упругости (модулем Юнга).

Исследование этой зависимости прогиба балки от материала скорее дело физики, чем математики. Математиков больше интересует зависимость прогиба от длины балки и от размеров и формы ее сечения. А то, что форма сечения влияет на прогиб, легко видеть из простого опыта. Обычную школьную линейку легко согнуть, если положить ее плашмя, и трудно, если поставить на ребро (рис. 1). Этот опыт показывает еще, что прогиб зависит не от площади сечения (ведь площадь сечения линейки одна и та же, лежит она плашмя или поставлена на ребро). Оказывается, дело не в площади сечения, а в его моменте инерции. Момент инерции I подсчитывают так. Сечение балки мысленно разрезают на очень тонкие горизонтальные слои и площадь каждого слоя умножают на квадрат расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма этих произведений и дает момент инерции сечения балки. Подсчеты показывают, что момент инерции для круглого сечения радиуса R равен Пи*R⁴/4, а для квадратного сечения со стороной а равен a⁴/12.

Рис. 1 Линейку легко согнуть, если положить ее плашмя (фото слева), и трудно, если поставить на ребро (фото справа).

Произведение ЕI модуля Юнга на момент инерции сечения балки называют жесткостью балки. Чем больше жесткость, тем труднее изогнуть балку. Можно увеличить жесткость балки, не меняя площади ее сечения. Для этого надо сосредоточить основную массу балки на большом расстоянии от среднего слоя, например придать балке одну из форм, изображенных на рис. 2. Поэтому, например, в велосипедах делают корпус не из сплошных стержней, а из труб.

Рис. 2 Балки различной формы сечения.

перейти к началу страницы