Возникновение геометрии как науки

Примерно такой же характер имели геометрические знания и в Древней Греции в VII-VI вв. до н. э. Греческая культура была более молодой, и поэтому многие сведения греки заимствовали у египтян и вавилонян. Именно здесь, в Греции, в VI в. до н. э. и произошло коренное преобразование способа изучения геометрии, здесь и возникла она как наука. Это было время установления демократии в большинстве греческих городов-государств, время бурного развития общественно-политической жизни Греции и появления научно-философских школ. В этих школах ученые впервые в истории человечества пытались понять и объяснить устройство мира с естественнонаучной и философской точек зрения. До этого в странах Древнего Востока господствовали догматы религии, в которые надо было верить, обсуждать их было нельзя. В Греции же каждая из школ старалась доказать правильность своей теории и опровергнуть противников, показав, что их доводы логически противоречивы. Логические рассуждения получили в это время широкое применение не только в естественных науках и философии, но и в судах, и в народных собраниях.

Особенно большую роль сыграли логические рассуждения в геометрии - они-то и сделали из собрания геометрических фактов стройную науку. Сами греки связывали рождение геометрии с деятельностью Пифагора и его школы. О Пифагоре мы почти ничего не знаем; уже в древности его имя было окружено фантастическими легендами. Известно только, что Пифагор переселился около середины VI в. до н. э. с острова Самос в Южную Италию (так называемую Великую Грецию), где находились богатые греческие города-колонии, и основал там союз, имевший и политические и научные цели. Мы знаем выдающихся математиков V в. до н. э., которые называли себя пифагорейцами. Поэтому у нас есть все основания говорить о пифагорейской математической школе, хотя мы и не знаем в точности, какие открытия были сделаны самим Пифагором, а какие принадлежат его последователям.

Что же сделали пифагорейцы в геометрии? Прежде всего они начали строить геометрию как абстрактную науку, изучающую общие свойства неких идеальных фигур, которые "в чистом виде" в природе не встречаются. Так в геометрию были введены линии, имеющие только длину, но не имеющие ширины; точки, не имеющие ни длины, ни ширины; фигуры, составленные из таких линий, и т. д. Эти новые геометрические объекты являются отвлечениями, абстракциями от формы реальных физических тел. Например, прямая линия могла возникнуть как абстракция от туго натянутой веревки, струны, луча света. Но ясно, что мы никогда не сможем построить идеальный отрезок: как бы точно мы его ни вычертили, стоит только посмотреть на рисунок в сильную лупу, чтобы убедиться, что это вовсе не отрезок прямой, а неровная палочка (из туши, мела и т. п.).

Создание отвлеченных геометрических понятий было вовсе не легким делом. Далеко не все мыслители древности понимали их пользу. Так, например, Протагор (481-411 гг. до н. э.) не признавал геометрических абстракций. Он говорил, что никто не видел линий без ширины, не видел, чтобы круг касался линейки только в одной точке - касание всегда будет происходить по маленькому отрезочку, поэтому таких вещей и не существует.

Однако новая точка зрения на геометрию позволила в короткий срок добиться таких удивительных результатов, что большинство ученых признали эти абстракции и начали с ними оперировать. Как же. они это делали? Как можно изучать свойства тех идеальных фигур, с которыми имеет дело геометрия?

Величайшим достижением древних греков было то, что они создали метод для изучения геометрических абстракций, введя в математику логические доказательства.

Рассмотрим, например, как можно установить, что сумма углов треугольника точно равна 2d. Непосредственным измерением это сделать нельзя, во-первых, потому, что на практике мы никогда не имеем дела с идеальными треугольниками, и, во-вторых, потому, что измерение углов на практике всегда производится с определенной степенью точности, например с точностью до 1' или 1". Но если бы даже мы и могли измерять идеальные треугольники (с помощью идеальных инструментов!), то и тогда мы не могли бы установить теорему о сумме углов любого треугольника, потому что различных треугольников бесконечно много, невозможно перебрать их все!

Все сказанное можно дословно повторить и о любой другой теореме: она относится не к одной заданной геометрической фигуре (например, к треугольнику со сторонами 3, 4, 5), а к целому классу фигур (например, ко всем треугольникам, или ко всем прямоугольным треугольникам, или ко всем равнобедренным треугольникам), причем каждый такой класс состоит из бесконечного множества отдельных фигур.

Древнегреческие ученые понимали, что установить правильность какого-либо свойства для всех фигур некоторого класса можно только с помощью логического доказательства. Но как (и можно ли) построить такую систему геометрии, в которой все правильные предложения можно было бы доказать?

перейти к началу страницы