Чем отличаются различные геометрии

Для того чтобы иметь возможность подбирать в каждом случае подходящую геометрию, целесообразно заранее иметь целый набор, как бы библиотеку таких мыслимых слепков. В настоящее время математиками разработаны методы построения бесконечного числа таких геометрий.

Различные геометрические пространства, т. е. различные мыслимые геометрические слепки, различают по тому, насколько они отличаются от евклидова. Само это отличие называют кривизной. Кривизна геометрического пространства определяется некоторыми числами, которые характеризуют величину отличия той или иной геометрии от евклидовой. Каждая "кривая" геометрия основывается, по существу, на некоторых аксиомах. Совокупность аксиом такой геометрии отличается от евклидовой системы аксиом. Имеется один интересный и простой признак, которым можно характеризовать отличие геометрии от евклидовой, не перечисляя всех аксиом. Этим признаком является как раз теорема о сумме углов треугольника. В евклидовой геометрии она всегда равна 180°. В других геометриях это не так. Там сумма углов треугольника может быть больше или меньше 180°, в зависимости от размеров и расположения треугольника в пространстве.

Если обозначить сумму углов треугольника через а, то можно считать, что величина кривизны характеризуется отношением величины б -180° к площади треугольника. Величина б - 180° в различных геометриях может иметь знак "плюс" или "минус". В соответствии с этим говорят, что пространство имеет положительную или отрицательную кривизну.

В евклидовой геометрии б - 180°=0, поэтому говорят, что евклидово геометрическое пространство имеет нулевую кривизну.

Выше было показано, что, развивая технику измерений, совершенствуя свои знания реального мира, мы неизбежно приходим к необходимости построения геометрии, отличной от евклидовой. Однако евклидова геометрия во многих вопросах является отличным орудием практики, инженерной техники и т. п. Смешон был бы, например, инженер, который стал бы учитывать, что две вертикальные линии отвеса не параллельны, а пересекаются в центре Земли. Еще меньше оснований у инженера, предполагать, что в построенном треугольнике сумма углов отлична от двух прямых.

Евклидова геометрия в таких вопросах с большой точностью описывает реальный мир световых лучей, и не случайно изучение свойств пространства люди начали именно с евклидовой геометрии. Все это, разумеется, ни в какой мере не умаляет важности неевклидовых геометрий. Они находят себе применение в важнейших теоретических и практических вопросах современной физики и математики.

Первая неевклидова геометрия была построена Лобачевским. Многовековая привычка к понятиям евклидовой геометрии не дала возможности даже крупным математикам, современникам Лобачевского, понять его идеи. Триумф этих идей наступил позднее. Теперь они прочно вошли в науку о природе и хорошо известны каждому физику и математику.

Геометрические понятия тесно связаны с физическими явлениями, происходящими в реальном мире. При этом следует иметь в виду, что геометрия применима не только к изучению явлений, связанных с распространением света. Можно рассмотреть и какие-нибудь другие реальные объекты, не имеющие никакого отношения к распространению света. Некоторые из них можно принять за эталон прямизны, подобно тому как это делалось с узкими снопиками световых лучей. Изучая эти объекты, можно подобрать аксиомы и построить соответствующую геометрию. Можно, например, в качестве эталона прямизны принять траектории твердых тел достаточно малого размера, движущихся по инерции, т. е. при отсутствии воздействия на них внешних сил. Полученная при этом геометрия (как и геометрия, построенная для изучения световых лучей) будет лишь в первом приближении совпадать с евклидовой.

перейти к началу страницы