Нужны ли другие геометрии

Выше пояснялась естественность построения геометрии, в которой сумма внутренних углов треугольника не равна 180° и, следовательно, не имеет места утверждение (А).

Впервые такую геометрию построил Н. И. Лобачевский в 1826 г. Геометрия Лобачевского строится на тех же аксиомах, что и евклидова, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется другим утверждением - аксиомой Лобачевского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести, по крайней мере две прямые, не пересекающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая геометрия -Евклида или Лобачевского - точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и кажется на первый взгляд парадоксальной. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он этот вопрос поставил.

Впоследствии было построено много других геометрий - других мысленных слепков с реального мира. Вопрос же о том, действительно ли понадобится какая-либо из этих геометрий при изучении реального мира световых лучей, оставался по существу открытым вплоть до 1916 г., когда крупнейший физик А. Эйнштейн создал так называемую общую теорию относительности.

Широко известен анекдот о том, что Ньютон открыл закон тяготения, наблюдая за падением яблока. Насколько же точно ньютоновский закон отображает реальное положение вещей? Нельзя ли с помощью очень точных инструментов обнаружить, что притяжение тел может отклоняться (пусть очень мало) от закона Ньютона? Здесь можно поставить те же вопросы, какими мы занимались при разработке евклидовой аксиомы о параллельных.

Дело в том, что ньютоновские законы также представляют собой некоторый абстрактный, мысленный слепок с реального мира. Это как бы физический слепок, в то время как евклидова аксиоматика является геометрическим слепком.

Подобно этому и законы электрического взаимодействия (например, закон Кулона) также являются определенным физическим слепком с реального мира.

Вплоть до создания общей теории относительности считалось твердо установленным, что реальный мир представляет собой нечто подобное бесконечной пустой "евклидовой комнате", в которой, словно мебель, расположены реальные тела, предметы, взаимодействующие друг с другом. Казалось совершенно несомненным, что свойства этой "евклидовой комнаты" никак не связаны с перемещением и взаимодействием находящейся в ней мебели.

Законы же перемещения и взаимодействия материи в этой пустоте описывались в физических теориях-слепках. Однако считалось, что эти теории могут делаться независимо от того, как сделан геометрический слепок. Кроме того, ньютонов слепок считался столь же бесконечно совершенным и точным, как и евклидов геометрический слепок.

Опыты, однако, показали, что известные физические теории столь же несовершенны, как и евклидова геометрия. Чтобы несколько разъяснить это, расскажем об одном эксперименте, который уже неоднократно повторялся астрономами и показал хорошее совпадение с заранее полученными выводами теории относительности.

Представим себе на Земле наблюдателя, который, находясь в определенный момент в точке О₁ (рис. 7), видит звезду А и вблизи от нее Солнце. (Заметим, что такие опыты производятся при полном солнечном затмении, когда диск Солнца закрывается от наблюдателя диском Луны.) Наблюдение проводится в небольшой промежуток времени, так что звезду и Солнце можно считать неподвижными, а траекторию Земли - прямолинейной. Земля движется по орбите с известной скоростью (в направлении от O_I к О_II), и, пользуясь теоремами евклидовой геометрии, нетрудно определить, в какой момент времени Солнце заслонит от наблюдателя звезду А. Это должно произойти тогда, когда Земля переместится в точку О_II (рис. 7).

Рис. 7

Эксперимент, однако, показывает, что в действительности звезда А закрывается Солнцем с некоторым опозданием, величина которого хорошо согласуется с предсказаниями теории относительности.

Как же объясняется это явление? Оказывается, сильное поле тягртения, создаваемое Солнцем, заставляет лучи света, проходящие вблизи Солнца, вeсти себя не так, как того требует евклидова геометрия. А именно, лучи как бы искривляются, и получается картина, схематически изображенная на рис. 8. Находясь в точке О_II. наблюдатель видит звезду. Лишь когда наблюдатель переместится в точку О_III Солнце закроет от него звезду А.

Можно попытаться объяснить обнаруженное отклонение, оставаясь в рамках евклидовой геометрии и ньютоновской теории тяготения. Именно, зная массу Солнца и массу движущегося фотона (кванта света), можно на основании ньютоновского закона тяготения вычислить отклонение фотона от евклидовой прямой. Опыт, однако, показывает, что действительное отклонение будет примерно вдвое большим того отклонения, которое вычислена указанным путем.

В таком случае приходится предположить, что евклидова геометрия и ньютоновская теория тяготения (или обе они) являются недостаточно точными слепками действительного мира, ибо не позволяют объяснить наблюдаемые явления. Общая теория относительности как раз и дала новый, более точный слепок. В соответствии с этой теорией поведение световых лучей вовсе не обязано следовать законам евклидовой геометрии. Геометрия, пригодная для описания поведения световых лучей, должна целиком и полностью определяться распределением и состоянием материи в мире. Каждое перемещение массы и изменение энергии вещества влечет изменение структуры всего физического пространства, а следовательно, и необходимость выбора более подходящего, неевклидова геометрического слепка.

Нельзя считать, что световые лучи в окрестности Солнца (рис. 8) перестали быть прямыми, что они искривлены. Они, так же как и лучи, проходящие вдали от Солнца, являются идеальными прямыми, однако поведение этих прямых должно описываться не евклидовой системой аксиом, не евклидовой геометрией, а некоторой другой геометрией.

Рис. 8

Так как распределение и состояние материи в реальном пространстве изменяются во времени, то и геометрия, описывающая наше реальное пространство с достаточной точностью, тоже не остается неизменной, а изменяется со временем. Значит, в формулировке аксиом геометрии должно участвовать время. Понятия пространства и времени оказываются неотделимыми, неразрывными.

Теория относительности Эйнштейна объединила в одно целое изучение физических и геометрических свойств реального мира. Она как бы дала единый физико-геометрический слепок нашего мира.

Оказалось, что мир нельзя рассматривать как пустое евклидово пространство, заполненное материей. Каждое изменение поля тяготения, всякое перемещение массы и изменение энергии вещества влечет изменение структуры всего физического пространства, а следовательно, и необходимость выбора более подходящего геометрического слепка.

В соответствии с теорией Эйнштейна выбор подходящей геометрии определяется распределением и состоянием материи в реальном мире.

перейти к началу страницы