С чего начинается изучение геометрии

В учебнике геометрии изучаются геометрические объекты различной сложности: треугольники, трапеции, параллелограммы, призмы, пирамиды, сферы и т. п., которые должны быть точно охарактеризованы. Это делается в так называемых определениях. Для того чтобы полностью разобрать то или иное произвольно взятое определение, надо знать определения, изложенные в учебнике ранее. Например, чтобы понять определение трапеции, надо заранее знать определение параллельности прямых, определение четырехугольника, а для этого знать определение отрезка. Последнее требует знания того, что такое прямая и точка.

Всякое другое определение точно так же в конце концов приводит нас к первой странице учебника геометрии, где мы надеемся найти определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости.

Но, увы, нас ожидает разочарование. Оказывается, что и здесь нет точных математических определений точки, прямой и плоскости. В то же время все дальнейшие определения, которые опираются на эти основные геометрические понятия, сформулированы с полной математической строгостью. Такое положение на первый взгляд может показаться весьма странным. Правда, в начале учебника даются некоторые пояснения того, что же мы понимаем под точкой, прямой и плоскостью. Пояснения эти, однако, ни в какой мере не могут служить точными математическими определениями. Кроме того, эти пояснения нигде далее в геометрии не используются. Они совершенно не нужны для доказательства теорем. Важным является лишь указание на то, что в дальнейшем будут изучаться именно точки, прямые и плоскости.

Что же такое точка, прямая и плоскость? Отметим сразу же, что нигде в природе не встречаются точки, прямые и плоскости. Представим себе шарик малого диаметра, скажем в 1 мм. Уменьшим его диаметр вдвое, втрое, ..., в тысячу раз и т. д. Наступит ли момент, когда уже весьма малый шарик можно будет назвать точкой? Нет!

Учитель ставит на доске весьма "жирную" точку. Ученики рисуют в тетради тоже весьма крупные точки. На самом же деле каждый раз изображаются маленькие кружочки. Но точки ли это? Звезды на небе тоже нам представляются точками, хотя некоторые из них во много раз больше Солнца. А если представить себе шарик столь малым, что его нельзя увидеть ни в один современный микроскоп, - будет ли это точка? Опять нет.

Дело в том, что точка - это не какой-то конкретный предмет. Точка - это абстрактное понятие, которое образовано нашим сознанием в результате длительного изучения весьма малых (или кажущихся малыми при определенных условиях) реальных объектов - шариков, кружочков и т. п. Это абстрактное понятие точки наделяется нами целым рядом свойств, общих для тех конкретных предметов, в результате наблюдения над которыми и возникло понятие точки.

Обратимся теперь к понятию прямой. На бумаге изображена линия. Прямая ли она? Как в этом убедиться? Надо приложить линейку, сравнить линию с краем линейки. Но при этом возникает вопрос: прямая ли наша линейка? Каждому, вероятно, приходилось видеть столяра, который для проверки прямизны выструганной планки рассматривает ее так, как показано на рис. 1. Если линейка не прямая, на ней есть изъяны, это будет видно на свет. Таким образом, проверяя прямизну сделанной линейки, ее сравнивают с лучом света. Точно так же обстоит дело и с туго натянутой нитью, которую практически считают прямой. Чтобы убедиться, что нить хорошо натянута и не провисает, надо опять-таки взглянуть вдоль нити, т. е. (как и планку) сравнить ее с лучом света.

Рис. 1. Проверка прямизны планки.

Значит, можно сказать, что луч света является эталоном прямой. На первый взгляд все хорошо. Но на самом деле нигде в природе не встречается то, что мы мыслим себе "одним лучом света". Допустим, что свет небольшого источника А пропускают сквозь малое отверстие (на рис. 2). Получится узкий пучок света. Представим себе, что отверстие все время уменьшается и источник света тоже уменьшается. Тогда пучок, исходящий из отверстия, будет становиться все уже и уже. Конечно, этот пучок никогда не станет лучом, если бы даже и можно было его сделать сколь угодно узким. (В этом мысленном "идеальном" эксперименте мы умышленно не учитываем возникающие здесь физические явления: дифракцию, преломление и т. п.) Вот если бы источник света А был точкой и отверстие тоже было точкой, тогда пучок стал бы лучом. Но ведь мы говорили о том, что в реальном мире точек не бывает. Значит, не бывает и отдельных лучей. Таким образом, и луч (прямая) является абстрактным понятием, хотя и имеет весьма реальную природу и физическое происхождение. Как и в случае точки, рисуя на бумаге прямую, мы только создаем реальный образ - рисунок, стремясь в той или иной (нужной нам) мере сделать его похожим на те физические объекты, из которых произошло, выкристаллизовалось понятие прямой. И здесь, как и в случае точки, абстрактное понятие прямой мы наделяем всеми свойствами, общими для тех конкретных предметов, в результате наблюдения над которыми возникло само понятие прямой.

Рис. 2. Представление о прямой и о плоскости дают луч света, проходящий через малое отверстие, и пучок света, проходящий через узкую прямолинейную щель.

Точно так же обстоит дело и с плоскостью. Представим себе, что свет источника А пропускают сквозь узкую прямолинейную щель (рис. 2). Прямизна щели может быть, например, в нужной нам мере проверена при помощи эталона - луча света так, как указано выше. Получится изображенный на рисунке пучок света. Если бы удалось уменьшить источник до "идеальной" точки и сузить щель до "идеальной" прямой, тогда пучок света стал бы "идеальной" плоскостью. Здесь применимы все рассуждения, приведенные в случае прямой, и мы не будем их повторять.

перейти к началу страницы