Преобразования как основа классификации теорем

Немецкий математик Ф. Клейн в конце прошлого столетия предложил положить геометрические преобразования в основу классификации всех свойств геометрических фигур и тел. Он предложил различать геометрические свойства по тем преобразованиям, при которых эти свойства сохраняются. К одной группе при этом будут относиться те свойства, которые сохраняются лишь при движениях фигур; сюда относятся все свойства, связанные с расстояниями между точками, и все теоремы, в которых фигурируют длины или площади (например, теорема: "Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на длину опущенной на основание высоты"). В другую группу попадут свойства, сохраняющиеся при преобразованиях подобия, например все свойства, связанные с величинами углов; к этой группе свойств относится, скажем, известное свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° (ведь отношение длины гипотенузы к длине меньшего катета также сохраняется при преобразованиях подобия!). Еще одну группу составят свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при линейных преобразованиях. Так как линейные преобразования изменяют свойства фигур сильнее, чем движения, то свойства, сохраняющиеся при этих преобразованиях, следует считать более глубокими; с этой точки зрения свойство треугольника, выражаемое теоремой: "Медианы треугольника пересекаются в одной точке", оказывается более глубоким, чем, скажем, аналогичное свойство высот треугольника.

Феликс Клейн.

Еще более глубокими следует считать те свойства фигур, которые сохраняются при центральном проектировании фигуры с одной плоскости на другую (см. рис. 17, где теперь мы можем считать плоскость фигуры не параллельной той плоскости, на которую она отбрасывает тень), очень сильно изменяющем фигуру.

Такая классификация геометрических теорем (Клейн даже говорил об отдельных "геометриях", охватывающих изучение свойств фигур, сохраняющихся при тех или иных преобразованиях) поясняет сказанное выше об использовании геометрических преобразований для доказательства теорем. Все свойства, сохраняющиеся при линейных преобразованиях, будут одинаковы для квадрата и для параллелограмма; поэтому при рассмотрении их мы всегда можем ограничиться изучением квадрата, являющегося частным случаем параллелограмма. Точно так же при изучении соответствующих свойств треугольника мы можем считать его равносторонним, что в ряде случаев может заметно упростить доказательство (ср. с выводом выше теоремы о точке пересечения медиан треугольника). Таким образом, точка зрения Клейна, выделяющая ряд отдельных ветвей геометрии, может существенно помочь при изучении свойств геометрических фигур.

перейти к началу страницы